Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan
komputer, ada
4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu :
Desimal (Basis 10),
Biner (Basis 2),
Oktal (Basis 8) dan
Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4 Sistem Bilangan ini :
1. Desimal (Basis 10)
Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).
Untuk melihat nilai bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan :
Dalam gambar diatas disebutkan
Absolut Value dan
Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki Absolut Value dan Position Value.
Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan
Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.
Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa diartikan sebagai berikut :
Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :
2. Biner (Basis 2)
Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Bilangan Biner ini di populerkan oleh John Von Neumann. Contoh Bilangan Biner 1001, Ini dapat di artikan (Di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :
Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :
Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :
3. Oktal (Basis 8)
Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Contoh Oktal 1024, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :
Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :
Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :
4. Hexadesimal (Basis 16)
Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15.
Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :
Position Value dalam Sistem Bilangan Hexadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis), seperti pada tabel berikut ini :
Berarti, Bilangan Hexadesimal F3DA perhitungannya adalah sebagai berikut :
A.Penerapan Sistem Bilangan
Banyak sistem-sistem bilangan yang digunakan pada teknologi digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, system bilangan biner, system bilangan oktal dan system bilangan heksadesimal. Sistem bilangan desimal adalah yang banyak dikenal karena sering digunakan setiap hari. Dengan mempelajari karakteristiknya akan membantu memahami sistem-sistem bilangan lain secara lebih baik.
1. Sistem Bilangan Desimal
Sistem bilangan desimal tersusun atas 10 angka atau simbol, yang dikenal dengan digit. Ke-10 simbol ini adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal juga disebut sistem basis 10, karena mempunyai 10 digit. Kenyataannya, kata digit adalah kata latin yang berarti jari-jari.
Sistem bilangan desimal adalah suatu sistem nilai posisional di mana nilai dari suatu digit tergantung kepada posisinya. Misalnya perhatikanlah bilangan desimal 634 ini artinya digit 4 sesungguhnya menyatakan 4 satuan, 3 menyatakan 3 puluhan dan 6 menyatakan 6 ratusan. Ringkasnya, 6 merupakan yang paling berbobot dari ketiga digit, dikenal sebagai Most Significant Digit(MSD). 4 bobotnya paling kecil dan disebut Least Significant Digit (LSD). Contoh lain adalah pada bilangan 75.25, bilangan ini sesungguhnya sama dengan tujuh puluh plus lima satuan plus dua persepuluh plus lima perseratus.
2. Sistem Bilangan Biner
Hampir semua sistem bilangan digital menggunakan sistem bilangan biner sebagai dasar sistem bilangan dari operasinya, meskipun sistem-sistem bilangan lain sering digunakan secara bersama-sama dengan biner. Dengan menggunakan 2 level yang ada pada sistem bilangan biner maka sangatlah mudah untuk mendesain rangkaian-rangkaian elektronik yang akurat dibandingkan dengan menggunakan 10 level yang ada pada sistem bilangan desimal.
Dalam sistem bilangan biner, hanya ada 2 simbol atau digit yaitu 0 dan 1 yang dikenal juga dengan system basis 2. Sistem bilangan biner ini dapat digunakan untuk menyatakan setiap kuantitas yang dapat dinyatakan dalam desimal atau sistem bilangan yang lainnya.
Sistem bilangan biner juga suatu sistem nilai posisional, dimana tiap-tiap digit biner mempunyai nilainya sendiri atau bobot yang dinyatakan sebagai pangkat 2.
Tabel berikut menunjukkan urutan hitungan pada system bilangan biner.
3. Menyatakan Kuantitas-Kuantitas Biner
Dalam system bilangan digital informasi yang akan diproses biasanya dinyatakan dalam bentuk biner. Kuantitas binerdapat dinyatakan dengan setiap alat yang hanya mempunyai dua kondisi kerja. Sebagai contoh sebuah saklar yang hanya mempunyai kondisi terbuka yang menyatakan biner 0 atau kondisi tertutup yang menyatakan biner 1.
Pada sistem-sistem digital elektronik, informasi biner dinyatakan oleh sinyal-sinyal listrik yang terdapat pada input dan output dari berbagai macam rangkaian-rangkaian elektronik. Dalam sistem ini, biner 0 dan 1 dinyatakan oleh dua tegangan yang ekstrim berlawanan.
Misalnya biner 0 dapat dinyatakan dengan harga nominal 0 volt dan biner 1 dinyatakan dengan 5 volt.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Biner 1 : tegangan antara 2 Volt sampai 5 Volt
Biner 0 : tegangan antara 0 Volt sampai 0.8 Volt
Tegangan antara 0.8 Volt sampai 2 Volt tidak digunakan, karena akan menyebabkan kesalahan dalam rangkaian digital.
B.Format Bilangan
Di dalam dunia komputer, terdapat
empat format bilangan, yaitu bilangan
biner,
oktal,
desimal dan
heksadesimal. Bilangan biner atau binary digit (
bit) adalah bilangan yang terdiri dari 1 dan 0. Bilangan
oktal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6 dan 7. Sedangkan bilangan desimal terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Dan bilangan
heksadesimal terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.
| Biner | Oktal | Desimal | Heksadesimal |
|---|
| 0000 | 0 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
Sudah dikenal, dalam bahasa komputer terdapat empat basis bilangan. Keempat bilangan itu adalah
biner,
oktal,
desimal dan
heksadesimal. Keempat bilangan itu saling berkaitan satu sama lain. Rumus atau cara mencarinya cukup mudah untuk dipelajari. Konversi dari
desimal ke non-desimal, hanya mencari sisa pembagiannya saja. Dan konversi dari non-desimal ke
desimal adalah:
- Mengalikan bilangan dengan angka basis bilangannya.
- Setiap angka yang bernilai satuan, dihitung dengan pangkat NOL (0). Digit puluhan, dengan pangkat SATU (1), begitu pula dengan digit ratusan, ribuan, dan seterusnya. Nilai pangkat selalu bertambah satu point.
Metode konversinya hampir sama. Hanya, karena pengelompokkannya berdasarkan 3 bit saja, maka hasilnya adalah: 1010 (2) = ......(8) Solusi: Ambil tiga digit terbelakang dahulu. 010(2) = 2(8) Sedangkan sisa satu digit terakhir, tetap bernilai 1. Hasil akhirnya adalah: 12.
Metode konversinya hampir sama dengan
Biner ke
Oktal. Namun pengelompokkannya sejumlah 4 bit. Empat kelompok bit paling kanan adalah posisi satuan, empat bit kedua dari kanan adalah puluhan, dan seterusnya. Contoh: 11100011
(2) = ......
(16) Solusi: kelompok bit paling kanan: 0011 = 3 kelompok bit berikutnya: 1110 = E Hasil konversinya adalah:
E3(16)
Cara atau metode ini sedikit berbeda. Contoh: 10110(2) = ......(10) diuraikan menjadi: (1x24)+(0x23)+(1x22)+(1x21)+(0x20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 Angka 2 dalam perkalian adalah basis biner-nya. Sedangkan pangkat yang berurut, menandakan pangkat 0 adalah satuan, pangkat 1 adalah puluhan, dan seterusnya.
Sebenarnya, untuk konversi basis ini, haruslah sedikit menghafal tabel konversi utama yang berada di halaman atas. Namun dapat dipelajari dengan mudah. Dan ambillah tiga biner saja. Contoh: 523(8) = ......(2) Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat hasilnya adalah: 3 = 011 2 = 010 5 = 101 Pengurutan bilangan masih berdasarkan posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 101010011(2)
Metode dan caranya hampir serupa dengan konversi Oktal ke Biner. Hanya pengelompokkannya sebanyak dua bit. Seperti pada tabel utama. Contoh: 2A(16) = ......(2)
Solusi:
caranya: A=10
- 10:2=5(0)-->sisa
- 5:2=2(1)
- 2:2=1(0)
- 1:2=0(1)
ditulis dari hasil akhir
hasil :1010
ditulis dari hasil akhir
hasil:010
jadi hasil dan penulisannya 0101010 sebagai catatan angka 0 diawal tidak perlu di tulis.
Ada cara dan metodenya, namun bagi sebagian orang masih terbilang membingungkan. Cara termudah adalah, konversikan dahulu dari
desimal ke
biner, lalu konversikan dari
binerke
heksadesimal. Contoh: 75
(10) = ......
(16) Solusi: 75 dibagi 16 =
4 sisa
11 (11 = B). Dan hasil konversinya: 4B
(16)
Caranya hampir sama seperti konversi dari biner ke desimal. Namun, bilangan basisnya adalah 16. Contoh: 4B(16) = ......(10) Solusi: Dengan patokan pada tabel utama, B dapat ditulis dengan nilai "11". (4x161)+(11x160) = 64 + 11 = 75(10)
Caranya hampir sama dengan konversi desimal ke heksadesimal. Contoh: 25(10) = ......(8) Solusi: 25 dibagi 8 = 3 sisa 1. Hasilnya dapat ditulis: 31(8)
25 : 8 sisa 1 3 -------- 3 hasilnya adalah 31
Metodenya hampir sama dengan konversi heksadesimal ke desimal. Dapat diikuti dengan contoh di bawah ini: 31(8) = ......(10) Solusi: (3x81)+(1x80) = 24 + 1 = 25(10)
C.Konversi Bilangan
Manusia memiliki 10 jari, sehingga untuk mempermudah perhitungan, manusia berhitung dengan sistem bilangan dengan basis 10, yaitu desimal. Bilangan desimal terdiri dari 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 0. Selain kedua sistem bilangan tersebut, seringkali manusia menggunakan sistem bilangan lain yaitu basis 8 (Oktal), dan Basis 16 (Hexadesimal). Antar basis terdapat angka yang sama dan ada yang tidak. Agar mudah membedakannya maka diberikan penambahan besar basis di akhir angka. Contoh 1101(2) untuk biner, 1101(10) untuk desimal, 1321(8) untuk oktal, dan 1321(16) untuk hexadesimal.
1. Bilangan Biner
Bilangan biner terdiri dari dua basis 0 dan 1. Supaya mempermudah perhitungan, bilangan biner diterjemahkan ke basis 10 terlebih dahulu. Dalam menghitung basis ini ke desimal menggunakan penjumlahan 2 pangkat. Contoh terjemahkan bilangan biner 1101(2) ke desimal:
28
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
| 1 | 1 | 0 | 1 | Desimal |
| 23 x 1 | 22 x 1 | 21 x 0 | 20 x 1 | = (8+4+0+1) = 13(10) |
Sehingga 1101(2) = 13(10)
Contoh bilangan biner :
| 0000 0000 | 0 |
| 0000 0001 | 1 |
| 0000 0010 | 2 |
| 0000 0011 | 3 |
| 0000 0100 | 4 |
| 0000 0101 | 5 |
| 0100 0101 | 133 |
| 1111 1111 | 511 |
2. Bilangan Oktal
Bilangan oktal terdiri dari delapan basis 0,1,2,3,4,5,6, dan 7. Cara perhitungannya sama dengan binary. Perbedaannya dalam basis ini menggunakan penjumlahan 8 pangkat. Contoh terjemahkan bilangan oktal 1321(8) ke desimal:
| 1 | 3 | 2 | 1 | Desimal |
| 83 x 1 | 82 x 3 | 81 x 2 | 80 x 1 | = (512+192+16+1)
= 721(10)
|
Sehingga 1321(8) = 721(10)
3. Bilangan Hexadesimal
Bilangan hexadesimal terdiri dari 16 basis yaitu, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F. Huruf pada hexadecimal diterjemahkan kelanjutan dari angkanya. Pada huruf A dihitung 10, huruf B dihitung 11, dan seterusnya sampai huruf F. Berbeda dengan basis lainnya, cara penulisan basis ini diawali dengan 0x. Dalam menghitung basis ini ke desimal menggunakan penjumlahan 16 pangkat. Contoh terjemahkan bilangan hexadecimal 19F(16) ke desimal:
163
|
162
|
161
|
160
|
4096
|
256
|
16
|
1
|
1
|
9
|
F
|
Desimal
|
162 x 1
|
161 x 9
|
160 x 15
|
= (256+144+15)
= 415(10)
|
Sehingga 19F(16) = 415(10)
4. Bilangan Desimal
Bilangan desimal terdiri dari 10 basis, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 0. Selain basis lain yang diterjemahkan ke bilangan desimal. Bilangan desimal juga dapat diterjemahkan ke basis lain. Basis lain diterjemahkan menggunakan hasil jumlah dari x pangkat. Kebalikannya, untuk mengubah bilangan desimal ke basis lain, menggunakan pembagian.
a. Desimal ke Biner
Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke biner, bilangan desimal dibagi dengan 2. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka bernilai 1. Jika tidak terdapat sisa pada pembagian maka bernilai 0. Contoh terjemahkan bilangan 251(10)
Decimal
|
Habis dibagi / tidak
|
Biner
|
251 / 2 = 125
|
sisa
|
1
|
125 / 2 = 62
|
sisa
|
1
|
62 / 2 = 31
|
tidak sisa
|
0
|
31 / 2 = 15
|
sisa
|
1
|
15 / 2 = 7
|
sisa
|
1
|
7 / 2 = 3
|
sisa
|
1
|
3 / 2 = 1
|
sisa
|
1
|
1 / 2 = 0
|
sisa
|
1
|
Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 251(10) = 1111 1011(2)
b. Desimal ke Oktal
Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke oktal, bilangan desimal dibagi dengan 8. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka nilai tersebutlah yang ditulis. Contoh terjemahkan bilangan 251(10)
Decimal
|
Sisa Pembagian
|
Oktal
|
251 / 8 = 31
|
3
|
3
|
31 / 8 = 3
|
7
|
7
|
3 / 8 = 0
|
3
|
3
|
Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 251(10) = 373(8)
c. Desimal ke Hexadesimal
Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke hexadesimal, bilangan desimal dibagi dengan 16. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka nilai tersebutlah yang ditulis. Contoh terjemahkan bilangan 251(10) ke hexadesimal:
Decimal
|
Sisa Pembagian
|
Hexadesimal
|
| 251 / 16 = 15 | 11 | B |
| 15 / 16 = 0 | 15 | F |
Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 251(10) = FB(16)
D.Sistem Penyandi Bilangan
Pengertian Sistem Sandi
Yaitu system yang digunakan pada pada mesin digital berupa intruksi maupu informasi yang diolah menjadi bilangan biner. Karena pada dasarnya , mesin hanya mengerti informasi dalam bentuk biner.
Dalam alur logikanya, pesan yang dikrim oleh user diubah dengan sandi tertentu yang disebut dengan istilah encoder ( pengubah pesan menjadi sandi) . kemudian untuk memunculkan tampilan atau outputnya . maka sandi yang disimpan akan di ubah kembali menjadi pesan dan ditampilkan dan inilah yang di sebut sengandecoder ( Pengubah sandi menjadi pesan).
Macam-macam Sandi
- Sandi BCD
Proses komputasi dalam mesin digital dalam bentuk biner. Jika hasil komputasi tetap ditampilkan dalam bentuk biner, kita mengalami hambatan atau bahkan sulit memahaminya, karena kita tidak biasa dengan bilangan yang tampil dalam bentuk biner.
Jadi tampilan desimal lebih mudah difahami dari pada tampilan biner. Oleh karena itu diperlukan suatu cara penyandian dari biner ke desimal dan sebaliknya. Sekelompok 0 dan 1 dalam bentuk biner dapat dipikirkan sebagai penggambaran sandi suatu bilangan desimal.
Salah satu sistem sandi adalah BCD atau decimal yang disandikan biner. Karena digit desimal yang terbesar 9, maka diperlukan 4 bit biner untuk menyandi setiap digit. Susunan 4 bit biner tersebut menghasilkan 16 kombinasi yang berbeda, tetapi hanya diperlukan 10 kombinasi di antaranya. Untuk bilangan bulat, kelompok 4 bit yang pertama (paling kanan) menyatakan satuan, kelompok 4 bit ke dua adalah puluhan, kelompok 4 bit ke tiga merupakan ratusan, dan seterusnya.
Dalam BCD tidak digunakan sandi-sandi 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, dan 1111. Jika sembarang bilangan 4 bit yang terlarang itu terjadi pada mesin yang menggunakan sandi BCD, maka biasanya akan terjadi indikasi terjadinya kesalahan.
- Sandi Excess-3
Sandi XS-3 terdiri dari kelompok 4 bit untuk melambangkan sebuah digit desimal. Sandi XS-3 untuk bilangan desimal dibentuk dengan cara yang sama seperti BCD kecuali bahwa 3 ditambahkan
pada setiap digit desimal sebelum penyandian ke binernya. Misal untuk menyandi bilangan desimal 5 dalam XS- 3, pertama kali menambahkan 3 kepada 5 yang menghasilkan 8, kemudian 8 disandikan dalam biner 4 bit yang setara, yaitu 1000.
- Sandi ASCII
Tombol kunci (key board) pada komputer, sedikitnya terdapat 87 tombol kunci baik yang berupa huruf besar dan kecil, angka, tanda khusus, maupun tombol dengan fungsi khusus. Tombol yang lengkap meliputi 26 tombol untuk huruf kecil, 26 tombol untuk huruf besar, 10 tombol untuk digit angka, dan sedikitnya 25 tombol untuk tanda maupun fungsi khusus seperti +, /, %, $, @, #, Esc, Insert, Page Up, dan seterusnya. Sandi alpanumerik yang paling terkenal adalah sandi ASCII (American Standard Code for Information Interchange) yang digunakan oleh hampir seluruh komputer.
Sandi ASCII selengkapnya dapat dilihat pada daftar di luar slide ini. Contoh, seorang operator komputer memasukkan suatu pernyataan dari papan kunci berupa tulisan STOP yang maksudnya memerintah komputer untuk menghentikan suatu program, maka sandi biner yang dikenali computer adalah sebagai berikut :
101 0011 101 0100 100 1111 101 0000
S T O P
